De La Et
Resume:
r I et
Si u est continue et positive : admet une demi tangente verticale au
point dirigée vers le haut
Fonctions dérivées des fonctions usuelles
Les polynômes sont dérivables sur ℝ et : =
Si u dérivable alors
=
; >
u et v deux fonctions dérivables sur I alors ;
Les fonction sin ; cos sont dérivables et une fonction
réciproque, notée, définit sur = Par la relation {
=
*Les courbes de f et de sont symétriques
par rapport la droite d'équation y=x
Dérivabilité de en b avec = Si f est dérivable en a et alors est dérivable ymétrie de Fiche 2 : ETUDE DES FONCTIONS BRANCHES INFINIE Page 03 La limite Interprétation géométrique Schématisation du résultat Si
=
Alors la droite (D)
d’équation = est
asymptote verticale à Si
=
Alors la droite (D) : =
est asymptote horizontale
à voisinage de +
SI :
=0
Alors droite : = +
est asymptote oblique à voisinage de +
Si
=, On calcule
Si
=
Alors admet une
branche parabolique de
Direction la droite Au voisinage de +
Si
=
Alors admet une
branche parabolique de
Direction Au
voisinage de +
Si
On calcule
−
Si :
− =
Alors admet une
branche parabolique de
direction la droite
d’équation : = au
voisinage de +
Si :
− =
Alors la droite d’équation : = + est
asymptote oblique à voisinage de +
Préparation à l’examen
nationale du baccalauréat
Fiche 03 : Etude des fonctions
Logarithme-exponentielle
Prof : FAYSSAL
Page : 04
A) 1)F onction logarithme népérien
La primitive de
sur + [ qui
s’annule en 1 est appelée fonction
logarithme népérien on la note par ln
La fonction ln est définit et dérivable sur
l’intervalle + [ et =
Pour tout de + [ : =
On a ; = avec le nombre e est un
nombre irrationnel ;,
2) Propriétés algébriques le la fonction ln
; ℚ
3)Equations et inéquations
= = avec ℝ
4) Signe de la fonction ln sur + [
= =
Conclusion : (le tableau de signe de ln )
x 0 1 +
ln(x) − 0 +
5) Limites de la fonction ln
;
; ; + −
=
Exemple de méthode de changement de
variable pour calcul des limites
Calculons la limite
On pose = donc =
Et on a + donc +
= =
( car
6) Dérivée de la fonction ln(U) avec
Si U est dérivable sur I alors ln est
dérivable sur I et on a ; Primitives
Les primitives de la fonction
sur
sont les fonctions + ; ℝ B)1) Fonction exponentielle
La fonction réciproque de la fonction ln
est appelé fct exponentielle, elle est
définie et dérivable Sur ℝ
Pour tout dans ℝ : =
Pour tout de ℝ: > et =
Pour tout de ℝ =
Si U est dérivable sur I alors
Pour tout de 2) Propriétés algébriques le la fct exp
= ; ; =
=
et = ; ℚ
3) Equations et inéquations
= = ; < <
= ; avec >
= = ; avec >
4) Limites de la fonction exp
;
; ; + −
= + ;
= +
= − ;
= +
= ;
= +
=
Logarithme de base >
] ; ℝ); = 5) Primitives
Les primitives de la fonction
sur sont les fonctions
+ ; ℝ
Soit un réel non nul : Les primitives de
la fonction sur sont les
fonctions
+ ; ℝ
Préparation à l’examen
nationale du baccalauréat
Fiche 04 : Etude des fonctions
Primitives-Intégrales
Prof : FAYSSAL
Page : 05
1) Définition d’une Primitive d’une fonction
On dit que la fonction F est une primitive de f
ssi F est dérivable sur I et :
; Primitive des fonctions usuelles ; ℚ
= ; =
=
; 2) Définition d’intégrale d’une fonction
Soit F une primitive de f sur [ ; ]
L’intégrale de la fonction f de a à b est le
nombre réel noté par
tel que :
Remarque :
=
=
= −
3) Propriétés d’intégrale :
Linéarité de l’intégrale
; avec ℝ
Relation de CHELS
L’intégrale et l’ordre :
Si > 0alors
> 0
Si f alors
4) Intégration par parties
= [
−
5) Aire d’un domaine plan
L’aire du domaine
délimité par la
courbe et l’axe
des abscisses et
les droites d’équations = =
est : .
Avec u. a est l’unité d’aire 1 = ⃗ ⃗
> 0 sur[ ; ] alors :
.
< sur[ ; ] alors :
.
Si > sur [ ; ]et < sur [ ; ] alors :
=
L’aire du domaine délimité par et et les droites : = =
= .
Préparation à l’examen
nationale du baccalauréat
Fiche 05:
Equations différentielles
Prof : FAYSSAL
Page : 06
A) Equations différentielles de
premier ordre : = +
1) L’équation (E) ; = + tel que a et
b deux constantes réelles est appelée
équation différentielle linéaire
d’ordre1 ; ou y est la fonction inconnue
et ’ sa fonction dérivée
2) On appelle solution de l’équation (E),
toute fonction f qui vérifie
+
Résolution de l’équation : (E) ; = +
1) Les solutions de l’équation =
sont les fonctions y définies sur ℝ par :
=
ou k est une constante réelle
2) Les solutions de l’équation = +
sont les fonctions y définies sur ℝ par :
= −
ou k est une constante
3) Soient ℝ et ℝ
Il existe une solution unique y de (E) qui
vérifie =
B) Equations différentielles du second
ordre : + + =
1) L’équation : + + = tel
que a et b deux constantes réelles est
appelée équation différentielle linéaire
du second ordre ou y est la fonction
inconnue et y’ sa dérivée première et y’’
sa dérivée d’ordre 2
2) L’équation + + = s’appelle
l’équation caractéristique associée à
l’équation : + + =
Résolution de : (E) ; + + =
Soit le discriminant de L’équation
caractéristique + + =, associée
à : + + =
Cas 01 ; >
L’équation caractéristique
+ + =, admet deux solutions
réelles et
Donc les solutions de l’équation (E)
sont les fonctions y définie sur ℝ par :
= + ; ; ℝ
Cas 02 ; =
L’équation caractéristique
+ + =, admet une solution
réelle unique
Donc les solutions de l’équation (E) ;
sont les fonctions y définie sur ℝ par :
; ; ℝ
Cas 03 ; <
L’équation caractéristique
+ + =, admet deux solutions
complexes = + et = ̅̅̅
Donc les solutions de l’équation (E) ; sont
les fonctions y définie sur ℝ par :
; ℝ
Préparation à l’examen
nationale du baccalauréat
Fiche 06 :
Suite numérique
Prof : FAYSSAL
Page : 07
0) Raisonnement par récurrence
Soit un entier fixé et n un entier naturel
Pour montrer la proposition P(n)
On suit le principe de récurrence suivant :
• Pour n= n0 on vérifie que P(n) est vraie,
• Soit n un entier fixé tel que
On suppose que est vraie
Et on montre que est vraie
• Alors P(n) devient vraie
1) Suite croissante ; décroissante une suite de premier terme
− > é
− = Résultat alors ℕ); est décroissante alors ℕ;
2)Suite majorée ; minorée ; bornée
> é
< é
< < é
3) Suite convergente
Si
= ℝ on dit que la suite est convergente si non elle est divergente
Toute suite croissante et majorée est
convergente
Toute suite décroissante et minorée est
convergente
4) Limites des suites usuelles
= + ;
= +,
= + ;
= + ; ℕ
= ;
=,
= ;
= ; ℕ
5) Limite de la suite géométrique n’admet pas de limite
6)Suite géométrique - arithmétique une suite de premier terme et p un entier tel que géométrique arithmétique
Définition :
=
Définition :
− =
en fonction de n
=
Cas particulier :
=
en fonction de n
= +
Cas particulier :
= +
Somme des termes
= +
=
−
−
Cas particulier :
= +
=
−
−
Somme des termes
= +
=
Cas particulier :
= +
=
7) Limite d’une suite et l’ordre
• {
<
= +
= +
• {
<
= −
= −
• {
< <
= =
=
• {
− <
=
=
8) La suite définie par : = Si la fonction est continue en et
= alors
= 9) La suite liée à une fonction,
définie par : = f une fonction définie sur un intervalle et une suite tel que ℕ): = Alors si :
La fonction f est continue sur et
La suie est convergente et
Alors la limite de la suite est une
solution de l’équation = dans I
Préparation à l’examen
nationale du baccalauréat
Fiche 07 :
Nombres complexes (I)
Prof : FAYSSAL
Page : 08
A) Ensemble des nombres complexe
ℂ = { = + \ ℝ =
L’écriture + s’appelle la forme
algébrique du nombre = +
1) Conjugué d’un nombre complexe z :
= + ̅ = − ; ̅ le conjugué de z Propriété de conjugué d’un complexe
̅̅̅̅̅̅̅̅=+ ̅ + ̅ ; ̅̅̅̅̅̅̅̅= ̅ ; ̅̅ =
̅ =
̅
̅
; ̅ = + ; ̅̅̅ = ( ̅)
• ℝ = ̅ ; ℝ ̅ = −
2) Représentation géométrique d’un
nombre complexe dans un repère orthon
Soit et des points du plan :
• L’affixe du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −
• L’affixe de I le milieu du segment [AB] est
tel que : =
• Points A, B et C sont alignés
3) Module d’un nombre complexe z :
Le module de = + d’image M est le
nombre réel positif noté définie par
= = ̅ = +
Propriété de module et Distance
• = − = ̅ = − ̅ = +
• = ;
=
• = ; + + Soient deux points alors la distance AB définie par : = −
B) Argument d’un complexe z : On appelle argument de
z une mesure, en radian
de l’angle orienté ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ 1) Opérations sur l’argument
•
• ̅) −
2) Forme trigonométrique d’un complexe
= + = avec =
et =
L’écriture : = est appelé forme trigonométrique du
complexe z avec un argument de z
3) Détermination du forme trignométrique
Cas particulier ; ℝ+
= ℝ+
et =
= − ℝ−
et =
= ℝ+
et =
= ℝ−
−
et =
Cas générale ou = + ; ; ℝ
1) On calcule le module de
2)Factorisation: = + = 3) On cherche un argument de z tel que
=
et =
en utilisant le tableau et le cercle suivant :
; ℝ+
A
B C
D
Préparation à l’examen
nationale du baccalauréat
Fiche 07 :
Nombres complexes (II)
Prof : FAYSSAL
Page : 09
4) Interprétation géométrique d’argument
⃗⃗⃗⃗⃗⃗)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
(AB) // (DC)
A,B,C et D sont cocycliques ( appartenant
au même cercle)
M) ABC un triangle isocèle et rectangle en A
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
M) ABC un triangle équilatéral
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
M) Ensemble des points M(z) du plan
l’ensemble des points M d’affixe z tel
que : − = est un cercle de
centre et de rayon r ; > 0
l’ensemble des points M d’affixe z tel
que : − = − est la droite (D)
le médiatrice du segment [AB]
C) Notation exponentielle
On note le complexe de module 1 et
d’argument donc = 1) Forme exponentielle : =
= = 2) Opérations sur la forme exponentielle
Soient = et =
= ;
=
=
; ̅ =
̅̅̅̅ = ; = Formule de MOIVRE Formule D’EULER
=
et =
D) Résolution d’équations du second degré
Soit dans C l’équation : + + = tels que a ; b et c sont des réels
Si = − < 0, alors l’équation a deux racines complexes conjuguées
tel que =
et = ̅̅̅
+ =
−
=
E) Transformation dans le plan
1) Translation ⃗⃗⃗ de vecteur ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗)
Soit M’(z’) l’image de point M(z) par
translation ⃗⃗⃗ de vecteur ⃗⃗⃗ d’affixe ⃗⃗⃗ L’écriture complexe du translation ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗ = + ⃗⃗⃗ 2) Homothétie de centre et de rapport k
M’(z’) l’image de M(z) par l'homothétie h de
centre et de rapport
L’écriture complexe del'homothétie h
= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
’ − = 3) Rotation R de centre et d’angle
Soit M’(z’) l’image du point M(z) par la
Rotation R de centre
L’écriture complexe de la Rotation R est
= {
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
− = Méthodes : ABCD est un Parallélogramme
) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) Les diagonales
ont même milieu
ABCD est un Losange
) Parallélogramme dont les diagonales
sont perpendiculaires
) Parallélogramme =
ABCD est un Rectangle
) Parallélogramme qui a un angle droit
) Parallélogramme dont les diagonales
sont isométriques
ABCD est un Carré
) Rectangle et losange
) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
=
Préparation à l’examen Fiche 8 : Géométrie dans l’espace Page 10
⃗, ⃗, ⃗⃗⃗) un repère orthonormé de l’espace 1)Formule analytique du scalaire
Soient ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ on a :
⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗ = = + +
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗ =
2)DROITE DANS L’ESPACE
Soit la droite passant par et de vecteur directeur ⃗⃗⃗ Une représentation paramétrique de = +
3)Plan dans l’espace - Vecteur normale
Tout plan à une équation cartésienne de
la forme : : + + + =
Le Vecteur ⃗⃗⃗ est un vecteur
normal au plan : + + + =
A un point et ⃗⃗⃗ un vecteur de l’espace
L’ensemble des points M de l’espace
tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗ = est un plan (P) passant par A et de vecteur normale ⃗⃗⃗
4) DISTANCE D’UN POINT à UN PLAN
Soient : + + + = un plan et A un point de l’espace
=
+ + +
+ +
5) Sphère dans l’espace
Soit (S) la sphère de centre et de
rayon r l’équation cartésienne de (S) est : =
L’équation cartésienne de la sphère (S)
définit par son diamètre est donné par :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = Proposition : l’ensemble des points M
L’ensemble des points de tel que : : + + + + + + = est un sphère si + + − >
Son centre est le point Son rayon est =
6)Position relative d’un sphère et un plan
Soit (S) une sphère de centre et de rayon
R (P) un plan et d la distance entre le
centre est le plan (P) : = Si d=R alors (S) est tangente à(P) un point H
Si d<R alors (S) coupe (P) Suivant un cercle
(C) de centre H et de rayon = −
Pour déterminer les cordonnées de H on
résoudre le système suivant :
{ : + + + =
Position relative d’une sphère et une droite
Soit (S) une sphère de centre et d rayon R
la droite passant par le point A et de
vecteur directeur ⃗⃗⃗⃗ Pour déterminer les cordonnées des points
d’intersections de (S) et, on résoudre le
système suivant :
{ = Expression analytique du produit vectoriel
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = =
⃗ −
⃗ +
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ é ssi ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗
A ; B et C sont alignés ssi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗
Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est un vecteur normal au plan (ABC)
Distance d’un point à une droite la droite qui passe par et de vecteur
directeur ⃗⃗⃗⃗ et un point de l’espace alors
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
Aire d’un triangle ABC
=
̂
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Préparation à l’examen
nationale du baccalauréat
Fiche 09 :
Calcul de probabilités
Prof : FAYSSAL
Page : 11
A) Dénombrement.
1) Cardinal d’un ensemble fini
Le nombre d’éléments d’un ensemble fini est
appelé le cardinal de E, noté par 2) Principe fondamentale de dénombrement
Soit une expérience dont les résultats
nécessitent choix,
Si le 1ère choix se fait de façons différentes Le è choix se fait de façons différentes, Le è choix se fait de façons différentes, Alors le nombre de résultats possibles est
donné par le produit :
3) Arrangements.
a) Arrangements sans répétition.
Arrangements sans répétition de p parmi n
= !
;
= ! ;
= .
Cas particulier : Permutations.
! = ; ; ! =
b) Arrangements avec répétition.
Le nombre d’arrangements avec répétition
de éléments pris parmi par est noté
4) Combinaisons.
=
!
=
!
! !
Remarques :
=
= ;
=
= et
=
5) Type de tirage et importance d’ordre .
Type de
tirage
Nombre
de tirages
Importance de
l’ordre
Avec remise Important
Sans remise
Important
Simultané
Sans importance
Nombre de possibilité d’arranger p éléments
non distincts (Coefficient d’ordre)
Si on a éléments de type A et éléments
de type B et éléments de type C tel que
+ + =
Alors le nombre de possibilités d’arranger
les p éléments dans p places est
!
B) Probabilité d’un évènement.
1) Propriétés :
= et .
̅) = − Hypothèse d’équiprobabilité :
2) Probabilité conditionnelle.
Propriété :
La probabilité de l’événement sachant
que est réalisé est le nombre noté ou défini par :
Arbre des possibilités :
On a + ̅),
Donc + ̅) ̅ . Cette relation est appelée loi des
probabilités totales
3) Indépendance de deux événements
Définition
* On dit que les événements et sont
indépendants si : .
Propriété
* Les événements et sont indépendants
si et seulement ; avec Préparation à l’examen
nationale du baccalauréat
Fiche 09 :
Calcul de probabilités
Prof : FAYSSAL
Page : 12
4) Epreuves répétées.
Soit un événement de probabilité .
La probabilité de réaliser exactement fois
l’événement est :
où est le nombre de répétition de l’épreuve
dans les mêmes conditions
5) Variable aléatoire-Loi de probabilité
d’une variable aléatoire.
a) Définitions :
Toute fonction définie sur l’univers à
valeur dans ℝ est appelée variable
aléatoire, notée ou ou
Les valeurs prises par la variable
aléatoire notées .
Soit une variable aléatoire définie sur
un univers associé à une expérience
aléatoire telle que : =
,
Déterminer la loi de probabilité de la
variable aléatoire,
C’est calculer la probabilité de chacun des
événements { = où, …,
On résume la loi de probabilité de par le
tableau suivant
b) Espérance mathématique-Variance et
écart-type.
Soit une variable aléatoire définie sur un
univers associé
L’espérance mathématique de la variable
aléatoire est le nombre réel noté définie par :
=
= + +
La variance de la variable aléatoire est
le nombre réel noté définie par :
=
=
+
+
L’écart-type de est : 3) Loi binomiale.
Soit une expérience aléatoire formée d’une
répétition fois de manière indépendante
d’une même épreuve à deux issues sont :
succès de probabilité, et ̅ échec de
probabilité = −
Soit la variable aléatoire égale au nombre
de fois que le succès se réalise au cours de
cette expérience.
On dit que la variable aléatoire suit la
loi binomiale de paramètres et,
notée .
La loi de probabilité de la variable
aléatoire est appelée loi binomiale de
paramètres et .
Propriété.
Soit une variable aléatoire suit une loi
binomiale de paramètres et, on a :
Les valeurs prise par la variable
aléatoire sont :,, …, }
L’espérance de la variable aléatoire
est : =
La variance de la variable aléatoire
est :
L’écart-type de est :
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